Teoria especial da relatividade e buracos negros

É possível encontrar a relação entre a massa e o raio de um buraco negro esférico, tendo em mente que o máximo de velocidade que poderia chegar a um objeto, de acordo com a teoria da relatividade, é a velocidade da luz.

A velocidade de scape na superfície de uma estrela esférica será a velocidade máxima que pode chegar a um objeto, a fim de permanecer em órbita em torno da estrela. Isso vai acontecer quando a energia cinética de um objeto é igual à energia potencial devido a atração gravitacional da estrela.

A energia cinética (CE) de acordo com a mecânica clássica é

CE = mv² ½ (1)

e a energia potencial é Ep = GmM/r (2)

sendo v a velocidade do objeto em órbita, m a massa do objeto em órbita, M a massa da estrela, são a distância do centro da estrela até o ponto onde é o objeto em órbita e G a constante de gravitação universal.

Igualando a energia potencial com a energia cinética e isolando a velocidade, obtemos a equação da velocidade de escape:

(3)

em seguida, para uma velocidade de scape igual à velocidade da luz c e isolando M/r na fórmula anterior podemos obter

nula(4)

como c = 2.99793 x 108 m/s e G = 6.6732 x 10-11 Nm²/kg², obtemos

M/r = 6.734 x 1026 kg/m

Esta é a relação entre a massa e o raio de um corpo esférico, a fim de ser um buraco negro. Com esta relação que nós poderíamos encontrar o raio que deve ter diversos objetos estelares para ser um buraco negro.

GRÁFICO do raio correspondente aos buracos negros

RAIO DE MASSA
1 sol (2 x 1030 Kg) 3 Km
25 sóis (gigantes azuis) 75 Km
1000 suns 3000 Km
107 suns (núcleo galáctico) 3 x 107 Km
sóis de 1011 (galáxia) 3 x 1011 Km
Assim, podemos ver que se o sol poderia ser comprimido até uma esfera de rádio 3 Km se tornaria um buraco negro.

Mas este raciocínio é a mistura da teoria da relatividade com a mecânica clássica, desde que a equação da energia cinética de um corpo de acordo com a relatividade especial é diferente para o clássico

nula(5)

Assim, uma velocidade de escape a relativística é obtida (Ver):

nula(6)

Assim, você pode observar que a velocidade de escape nunca vai chegar a velocidade da luz, exceto em uma estrela de massa infinita ou raio zero.

Mas isso está a considerar a teoria da relatividade especial somente. Se mantivermos em mente a teoria da relatividade de Einstein, algumas conseqüências muito interessantes novas aparecem.

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